Prof. Dr. Otto Forster (auth.)'s Algorithmische Zahlentheorie PDF

By Prof. Dr. Otto Forster (auth.)

ISBN-10: 3663092399

ISBN-13: 9783663092391

ISBN-10: 3663092402

ISBN-13: 9783663092407

Dr. Otto Forster ist Professor am Mathematischen Institut der Ludwig-Maximilians-Universität München und Autor der bekannten Lehrbücher research 1-3.

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Fur m = 0 ist die Aquivalenz mod m dasselbe wie die Gleichheit, fUr m = 1 sind je zwei ganze Zahlen mod m aquivalent. Da wir diese TrivialfaHe aufier acht lassen k6nnen, beschranken wir uns im Folgenden auf den Fall m ~ 2. In diesem Fall sind zwei Zahlen x, y E Z genau dann aquivalent mod m, wenn sie bei Division durch m denselben Rest r E {O,l, ... ,m-l} lassen. Die Menge {O,l, ... ,m-l} stellt deshalb ein vollstandiges Reprasentantensystem fUr die Aquivalenzklassen mod mZ dar und daher hat Z / mZ genau m Elemente.

38 §5 Als Beispiel sieben wir das Intervall von 1 bis 1024. ==> bb := erat_sieve(1024). B. wie folgt die einzelnen Primzahlen herauslesen: ==> for p := 951 to 1024 by 2 do if mem_btest(bb,p div 2) then write(p," "); end; end. 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 Die Bit-Vektoren lassen sich auch graphisch darstellen. So zeigt nebenstehendes Bild einen Bit-Vektor der Lange 4000 fUr die ungeraden Primzahlen < 8000. Der Vektor ist in 80 Zeilen der Lange 50 aufgeteilt; die gesetzten Bits sind durch schwarze Quadrate dargestellt.

R* ist eine multiplikative Gruppe. Zwei Elemente x, y E R" {O} heiBen assoziiert, falls eine Einheit u E R existiert mit x = uy. Beispiele. Es gilt a) Z* = {I, -I}, b) Z[i]* = {I, -1, i, -i}, c) K[X]* = 1(* = 1( " {o}. Dabei wird ein Element a E 1(* als Polynom vom Grad 0 aufgefasst. Der euklidische Algorithmus 23 Der Beweis sei dem Leser uberlassen. 1. Satz. Seien x, y zwei von 0 verschiedene Elemente eines Integritiitsbereichs R. Gilt x I y und y I x, so sind x und y assoziiert. Beweis. Nach Voraussetzung gilt y = qlx und x = q2Y mit Elementen qI,q2 E R.

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Algorithmische Zahlentheorie by Prof. Dr. Otto Forster (auth.)


by Donald
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